時系列分析のすすめ

基礎統計

スペクトル解析とピリオドグラム

平易に言うと: 時系列に隠れた「1年周期」「1週間周期」といった周期成分の強さを、時間軸ではなく周波数の観点から見つけ出す方法。

前提知識

利用シーン

季節性の検出、景気循環の周期分析など、系列に含まれる周期の強さを定量的に把握したい場面。

時間領域での自己共分散関数は、周波数領域ではパワースペクトル密度に対応する。両者はフーリエ変換対で結ばれており、系列にどの周期の変動が強く含まれているかを可視化できる。

f(ω)=12π∑k=−∞∞γke−ikω(−π≤ω≤π)f(\omega) = \frac{1}{2\pi} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \gamma_k e^{-ik\omega} \quad (-\pi \le \omega \le \pi)

ピリオドグラム

有限長の観測データからスペクトルを推定する最も基本的な方法がピリオドグラムであり、離散フーリエ変換の振幅の二乗として計算される。

I(ωj)=1n∣∑t=1nXte−iωjt∣2I(\omega_j) = \frac{1}{n} \left| \sum_{t=1}^{n} X_t e^{-i \omega_j t} \right|^2

ピリオドグラムは標本サイズを増やしても分散が縮小しない一致性を持たない推定量であるため、実用上は平滑化(スムージング)や窓関数を併用して安定したスペクトル推定量とする。

用語集

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