時系列分析のすすめ

理論的基盤

ラグ演算子とBox-Jenkins法

平易に言うと: 理論上パラメータが無限個あるモデルを、実際に推定できる有限個のパラメータへ落とし込み、モデルを組み立てる標準的な手順。

前提知識

利用シーン

実際にARIMAモデルを構築する現場での標準手順。ACF/PACFで次数を絞り、推定し、残差を診断する一連の流れとして使う。

Woldの表現定理が保証するMA(∞)過程は、パラメータが無限個存在するためそのままでは推定できない。そこで、実用的な有限個のパラメータで近似モデルを同定・推定・診断する枠組みがBox-Jenkins法(ARIMAモデル)である。

ラグ演算子

時間のインデックスを含む差分方程式の取り扱いを容易にするため、時間を1期バックさせる多項式演算子zを導入する。

zXt=Xt−1z X_t = X_{t-1}

ARMA(p, q)の代数化

ラグ演算子を適用する前の原形は、過去p期の自己履歴(AR成分)と過去q期のイノベーション履歴(MA成分)の線形結合である。

Xt=ϕ1Xt−1+⋯+ϕpXt−p+ϵt+θ1ϵt−1+⋯+θqϵt−qX_t = \phi_1 X_{t-1} + \cdots + \phi_p X_{t-p} + \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \cdots + \theta_q \epsilon_{t-q}

ラグ演算子で整理すると、AR多項式Φ(z)とMA多項式Θ(z)による因数分解形が得られる。

Φ(z)Xt=Θ(z)ϵtΦ(z)=1−ϕ1z−⋯−ϕpzp,  Θ(z)=1+θ1z+⋯+θqzq\Phi(z) X_t = \Theta(z) \epsilon_t \quad \Phi(z) = 1 - \phi_1 z - \cdots - \phi_p z^p,\ \ \Theta(z) = 1 + \theta_1 z + \cdots + \theta_q z^q
  1. 同定(Identification): ACF/PACFの減衰パターンから次数p, qの候補を絞る
  2. 推定(Estimation): 最尤法などでパラメータφ, θを推定する
  3. 診断(Diagnostic checking): 残差の自己相関検定でモデルの適合を確認する

用語集

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